तुरंत हल करें: प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए ट्रिकी मैथ्स और शॉर्टकट्स

संख्याओं का घन (Cubes of Numbers)

गणितीय समस्याओं को हल करते समय घन (Cubes) निकालना अक्सर एक चुनौतीपूर्ण कार्य होता है, विशेष रूप से जब संख्याएँ बड़ी होती हैं। इस सेक्शन में, हम आपको घन निकालने के लिए सरल और तेज़ वैदिक गणितीय शॉर्टकट बताएँगे। आप सीखेंगे कि किसी भी संख्या का घन आसानी से कैसे निकाला जाए और 25, 50, और 100 के आसपास की संख्याओं के घन को बिना जटिल गणना के हल किया जाए।

1. किसी भी संख्या का घन निकालने के शॉर्टकट

A. घन का सामान्य फार्मूला (Binomial Expansion):

फॉर्मूला:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
इस फार्मूले का उपयोग संख्या को छोटे घटकों में विभाजित करके घन निकालने के लिए करें।

उदाहरण: 23323^3233:

1. विभाजित करें: 23=(20+3)23 = (20 + 3)23=(20+3)
2. फार्मूला लगाएँ:
• a3=203=8000a^3 = 20^3 = 8000a3=203=8000
• 3a2b=3×202×3=36003a^2b = 3 × 20^2 × 3 = 36003a2b=3×202×3=3600
• 3ab2=3×20×32=5403ab^2 = 3 × 20 × 3^2 = 5403ab2=3×20×32=540
• b3=33=27b^3 = 3^3 = 27b3=33=27
3. जोड़ें: 8000+3600+540+27=121678000 + 3600 + 540 + 27 = 121678000+3600+540+27=12167
   उत्तर: 233=1216723^3 = 12167233=12167

B. अंतिम अंक का उपयोग करके घन निकालें:

यह ट्रिक छोटे अंकों वाली संख्याओं के लिए उपयोगी है।
उदाहरण: 12312^3123:

1. अंतिम अंक का घन: 23=82^3 = 823=8
2. प्रथम अंक का घन: 13=11^3 = 113=1
3. 3×1×2×1=63 × 1 × 2 × 1 = 63×1×2×1=6, इसे बीच में रखें।
4. उत्तर: 1∣6∣8=17281 | 6 | 8 = 17281∣6∣8=1728।

2. 25, 50, और 100 के आसपास की संख्याओं के घन

A. 25 के आसपास की संख्या का घन:

25 के आसपास की संख्या nnn का घन निकालने के लिए, इसे 25+x25 + x25+x के रूप में लिखें।
फॉर्मूला:
(25+x)3=253+3(252)x+3(25)x2+x3(25 + x)^3 = 25^3 + 3(25^2)x + 3(25)x^2 + x^3(25+x)3=253+3(252)x+3(25)x2+x3

उदाहरण: 27327^3273:

1. 253=1562525^3 = 15625253=15625
2. 3×252×2=37503 × 25^2 × 2 = 37503×252×2=3750
3. 3×25×22=3003 × 25 × 2^2 = 3003×25×22=300
4. 23=82^3 = 823=8
5. जोड़ें: 15625+3750+300+8=1968315625 + 3750 + 300 + 8 = 1968315625+3750+300+8=19683।
   उत्तर: 273=1968327^3 = 19683273=19683।

B. 50 के आसपास की संख्या का घन:

50 के आसपास की संख्या nnn का घन:
फॉर्मूला:
(50+x)3=503+3(502)x+3(50)x2+x3(50 + x)^3 = 50^3 + 3(50^2)x + 3(50)x^2 + x^3(50+x)3=503+3(502)x+3(50)x2+x3

उदाहरण: 53353^3533:

1. 503=12500050^3 = 125000503=125000
2. 3×502×3=225003 × 50^2 × 3 = 225003×502×3=22500
3. 3×50×32=13503 × 50 × 3^2 = 13503×50×32=1350
4. 33=273^3 = 2733=27
5. जोड़ें: 125000+22500+1350+27=148877125000 + 22500 + 1350 + 27 = 148877125000+22500+1350+27=148877।
   उत्तर: 533=14887753^3 = 148877533=148877।

C. 100 के आसपास की संख्या का घन:

100 के आसपास की संख्या nnn का घन निकालने के लिए इसे 100+x100 + x100+x के रूप में लिखें।
फॉर्मूला:
(100+x)3=1003+3(1002)x+3(100)x2+x3(100 + x)^3 = 100^3 + 3(100^2)x + 3(100)x^2 + x^3(100+x)3=1003+3(1002)x+3(100)x2+x3

उदाहरण: 1033103^31033:

1. 1003=1000000100^3 = 10000001003=1000000
2. 3×1002×3=900003 × 100^2 × 3 = 900003×1002×3=90000
3. 3×100×32=27003 × 100 × 3^2 = 27003×100×32=2700
4. 33=273^3 = 2733=27
5. जोड़ें: 1000000+90000+2700+27=10927271000000 + 90000 + 2700 + 27 = 10927271000000+90000+2700+27=1092727।
   उत्तर: 1033=1092727103^3 = 10927271033=1092727।

निष्कर्ष:

इन शॉर्टकट्स और विधियों के माध्यम से आप किसी भी संख्या का घन आसानी से और तेज़ी से निकाल सकते हैं। 25, 50, और 100 जैसी विशेष संख्याओं के आसपास के घन निकालने के तरीके आपकी गणना को सटीक और समयबद्ध बनाएँगे। ये ट्रिक्स प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे रेलवे, एसएससी, और बैंक के लिए अत्यधिक उपयोगी हैं।